newtonova metoda tečen
Metoda tečen je iterační numerická metoda
užívaná v matematice k řešení soustav algebraických a transcendentních rovnic.
Nazývá se také Newtonova metoda a metodou tečen je označována, protože
řešení rovnice f(x) = 0 je hledáno při práci s tečnou křivky y=f(x)
v bodě xs.
Newtonova metoda tečen slouží k nalezení řešení rovnice f(x) = 0 za
předpokladu, že známe derivaci funkce f'(x)
a dovedeme vypočítat směrnici tečny v daném bodě.
Nezbytným předpokladem je znalost počáteční hodnoty
x0, v jejíž blízkosti hledáme řešení. Nejjednodušší způsob, jak
zjistit počáteční hodnotu, je si danou funkci nechat vykreslit v nějakém
programu na počítači, který nám zobrazí průsečíky s osou x. Jako
hodnotu x0 následně zvolíme nejbližší číslo k průsečíku
grafu funkce s osou x.
Jinou možností pro nalezení počáteční hodnoty x0, je
vytvoření tabulky, která bude obsahovat x-ové a y-ové souřadnice bodů grafu.
Pokud budeme násobit po sobě jdoucí y-ové hodnoty a jejich součin bude menší než
nula, tak získáme body, mezi jejichž x-ovými souřadnicemi leží hledaný kořen.
Počáteční x0, zvolíme na základě Fourierových podmínek (viz
menu Podmínky).
V bodě x0 sestrojíme kolmici k ose x a průsečík
této kolmice s grafem funkce označíme jako f(x0).
Bodem [xs ; f(x0)] povedeme tečnu a její průsečík
s osou x označíme jako x1 a vypočteme jej
podle následujícího vztahu (Rekurentní vzorec):
Stejný postup můžeme opakovat a najít tak ještě přesnější
hodnotu:
Tedy obecně:
Posloupnost {xk} konverguje v intervalu
<a,b> ke kořeni rovnice f(x)=0, kde k=(1, 2, 3...).
Rekurentní vzorec kubické
rovnice:
Odvození Rekurentního vzorce obecně:
Hledaná tečna má v bodě [x0
; y0] = [x0 ; f(x0)]
rovnici:
Pro průsečík [x1 ; y1] tečny s osou x
platí y1 = 0. Po dosazení této hodnoty do rovnice
tečny dostaneme:
Grafické znázornění metody tečen:
